Question

已知函数f（x）=（x²-a）e^x．
（Ⅰ）若函数f（x）在R上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，讨论函数g（x）=f'（x）-4xe^x-x（x＞1）的零点个数．

Answer

（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=（x2+2x-a）ex，由题意知方程x2+2x-a=0有两个不同的实数解，由此可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）确定函数的单调性，利用零点存在定理，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=（x2+2x-a）ex，由题意知方程x2+2x-a=0有两个不同的实数解，所以△=4+8a＞0，解得．
因此，实数a的取值范围是．--------（6分）
（Ⅱ）g（x）=（x-1）2ex-x（x＞1），g'（x）=ex（x2-1）-1．--------（7分）
设h（x）=ex（x2-1）-1（x＞1），h'（x）=ex（x2+2x-1），
因为x＞1，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）上是增函数，---------（9分）
又h（1）=-1＜0，h（2）=3e2-1＞0，
因此在（1，2）内存在唯一的实数x，使得h（x）=0，--------------（11分）
因为h（x）在（1，+∞）上是增函数，所以在（1，+∞）内存在唯一的实数x，使得h（x）=0．
h（x）与h'（x）随x的变化情况如下表：

x （1，x） x （x，+∞）
g'（x） - +
g（x） ↘ 极小值 ↗

由上表可知，g（x）=g（1）=-1＜0，又g（2）=e2-2＞0，
故g（x）的大致图象右图所示：
所以函数g（x）在（1，+∞）内只有一个零点．--------（15分）