Question

已知椭圆的离心率为，且有一个顶点的坐标为（0，1）．
（Ⅰ） 求该椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过点P的直线l交椭圆于A，B两点，是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且有一个顶点的坐标为（0，1），知a2=2b2，b=1，a2=2．由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）假设存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1．当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为．由此能够推导出存在定点Q（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，
且有一个顶点的坐标为（0，1），
∴a2=2b2，b=1，a2=2．
所以椭圆的方程为．（5分）
（Ⅱ）假设存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1．
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为．
解得这两个圆的交点坐标为（0，1），那么这个定点坐标为（0，1）．（9分）
下证以AB为直径的圆恒过定点Q（0，1）．
设直线，代入，有．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则．（11分）
则，

∴存在定点Q（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．（15分）