Question

设f（x）=e^x-ax-1
（1）若f（x）在[-∞，0]上单调递减，在[0，+∞]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=-x²+2x-2，在（1）的条件下，求证：g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．

Answer

（1）利用函数的单调性，可得f′（0）=0，即可求实数a的取值范围；
（2）只需证明f（x）min＞g（x）max，即可得到结论．
（1）【解析】
求导数可得f′（x）=ex-a
∵f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
∴f′（0）=e-a=0，
∴a=1；
（2）证明：由（1）知，f（x）min=0
∵g（x）=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，∴x=1时，g（x）max=-1
∵f（x）min＞g（x）max，
∴g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．