Question

设函数f（x）=e^2x+|e^x-a|，（a为实数，x∈R）．
（1）求证：函数f（x）不是奇函数；
（2）若g（x）=x^a在（0，+∞）单调减，求满足不等式f（x）＞a²的x的取值范围；
（3）求函数f（x）的值域（用a表示）．

Answer

（1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；
（2）利用g（x）=xa在（0，+∞）单调减，求出a的范围，然后解不等式f（x）＞a2，求出x的取值范围；
（3）通过当a≤0，，，分别求函数f（x）的值域（用a表示）即可．
【解析】
（1）证明：假设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
而x∈R，则f（0）=0，而f（0）=e+|e-a|=1+|1-a|≠0，故假设不成立，
从而函数f（x）不是奇函数．
（2）因g（x）=xa在（0，+∞）单调减，
则a＜0，e2x+|ex-a|=e2x+ex-a＞a2
则（ex-a）（ex+a+1）＞0，
而（ex-a）＞0，则ex＞-a-1，
于是x＞ln[-（a+1）]；
（3）设ex=t，则t＞0，y=f（x）=t2+|t-a|，
当a≤0时，y=f（x）=t2+t-a在t＞0时单调增，则f（x）＞f（0）=-a；
当时，y=f（x）=t2+t-a≥f（a）=a2；
当时，；
故当a≤0时，f（x）的值域为（-a，+∞）；
当时，f（x）的值域为（a2，+∞）；
当时，f（x）的值域为．