Question

已知双曲线，F₁，F₂分别为它的左、右焦点，P为双曲线上一点，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，则△PF₁F₂的面积为    ．

Answer

由题意可知|F1F2|=10，从而可得|PF1|+|PF2|=20，结合双曲线的定义可求得|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理可求一角的余弦，继而可得该角的正弦，由三角形的面积公式可得△PF1F2的面积．
【解析】
不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|-|PF2|=4，①
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，|F1F2|=10，
∴|PF1|+|PF2|=20，②
由①②可得|PF1|=12，|PF2|=8．
∴由余弦定理得：cosF1PF2==，
∴sinF1PF2==．
∴=|PF1||PF2|sinF1PF2
=×12×8×
=15．
故答案为：15．