Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer

（1）根据函数为偶函数，f（-x）=f（x）对任意实数x恒成立，即|-x-a|=|x-a|任意实数x成立，去绝对值然后比较系数，可得a=0；
（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x-a）2-a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2-1）x2+2ax-a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜-1；当a＜0时，用同样的方法得到-1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；
（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x-a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：
①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2-ax），根据函数的单调增的性质，可得y=F（x）的最大值为F（2）=4a-2a2；
②当1＜a≤2时，化成两个二次表达式的分段函数表达式，其对称轴为，得到所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，最大值决定于F（1）与F（2）大小关系．因此再讨论：当时，y=F（x）的最大值为F（2）=4a-2a2；当时，y=F（x）的最大值为F（1）=a2-a；
③当2＜a≤4时，F（x）=-a（x2-ax），图象开口向下，对称轴，恰好在对称轴处取得最大值：；
④当a＞4时，F（x）=-a（x2-ax），图象开口向下，对称轴，在区间[1，2]上函数是增函数，故最大值为F（2）=2a2-4a．
最后综止所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．
【解析】
（1）∵函数f（x）=|x-a|为偶函数，
∴对任意的实数x，f（-x）=f（x）成立
即|-x-a|=|x-a|，
∴x+a=x-a恒成立，或x+a=a-x恒成立
∵x+a=a-x不能恒成立
∴x+a=x-a恒成立，得a=0．…（4分）
（2）当a＞0时，|x-a|-ax=0有两解，
等价于方程（x-a）2-a2x2=0在（0，+∞）上有两解，
即（a2-1）x2+2ax-a2=0在（0，+∞）上有两解，…（6分）
令h（x）=（a2-1）x2+2ax-a2，
因为h（0）=-a2＜0，所以，故0＜a＜1；…（8分）
同理，当a＜0时，得到-1＜a＜0；
当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．
综上可知实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．…（10分）
（3）令F（x）=f（x）•g（x）
①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2-ax），
对称轴，函数在[1，2]上是增函数，
所以此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a2．
②当1＜a≤2时，，对称轴，
所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2-a，F（2）=4a-2a2，
1）若F（1）＜F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a2；
2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2-a．
③当2＜a≤4时，F（x）=-a（x2-ax）对称轴，
此时，
④当a＞4时，对称轴，此时．
综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值…（16分）