Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由已知利用递推公式可得an，代入分别可求数列bn的首项b1，公比q，从而可求bn
（II）由（I）可得cn=（2n-1）•4n-1，利用乘“公比”错位相减求和．
【解析】
（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2，
故{an}的通项公式为an=4n-2，即{an}是a1=2，公差d=4的等差数列．
设{bn}的通项公式为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．
故bn=b1qn-1=2×，即{bn}的通项公式为bn=．
（II）∵cn===（2n-1）4n-1，
Tn=c1+c2+…+cn
Tn=1+3×41+5×42+…+（2n-1）4n-1
4Tn=1×4+3×42+5×43+…+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n
两式相减得，3Tn=-1-2（41+42+43+…+4n-1）+（2n-1）4n=[（6n-5）4n+5]
∴Tn=[（6n-5）4n+5]