Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足：①图象过原点；②f（1-x）=f（1+x）；③g（x）=f（x）-x²是奇函数．解答下列各题：
（1）求c； 
（2）证明：b=-2a；  
（3）求f（x）的解析式．

Answer

（1）由二次函数f（x）=ax2+bx+c图象过原点，知f（0）=c=0，由此能求出c．
（2）由c=0，知f（x）=ax2+bx，由f（1-x）=f（1+x），得-4ax=2bx，由此能够证明b=-2a．
（3）由g（x）=f（x）-x2=ax2+bx-x2=（a-1）x2+bx是奇函数，知a=1，故b=-2a=-2，由此能求出f（x）．
（1）【解析】
∵二次函数f（x）=ax2+bx+c图象过原点，
∴f（0）=c=0，
故c=0．
（2）证明：∵c=0，∴f（x）=ax2+bx，
∵f（1-x）=f（1+x），
∴a（1-x）2+b（1-x）=a（1+x）2+b（1+x），
即a-2ax+ax2+b-bx=a+2ax+ax2+b+bx，
整理，得-4ax=2bx，
∴b=-2a．
（3）【解析】
∵g（x）=f（x）-x2=ax2+bx-x2=（a-1）x2+bx是奇函数，
∴a-1=0，即a=1，
∴b=-2a=-2，
∴f（x）=x2-2x．