Question

等比数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a₁，a₂，a₃中的任何两个数不在表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{b_n}满足，设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由表格可看出a1，a2，a3分别是2，6，18，由此可求出{an}的首项和公比，继而可求通项公式．
（2）由函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，知f（）=，由，知．cn=anbn=（n+1）•3n-1，由错位相减法能够求出数列{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）当a1=3时，不合题意
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意，
当a1=10时，不合题意
因此a1=2，a2=6，a3=18，所以q=3，
所以．
（2）∵函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，
∴f（）+f（1-）=1，解得f（）=，
∴b1=f（0）+f（1）=1，
=1+，
，
当n为奇数时，；当n为偶数时，，
∴．
∵，，
∴cn=anbn=（n+1）•3n-1，
∴数列{cn}的前n项和Sn=c1+c2+…+cn=2+3×3+4×32+…+n•3n-2+（n+1）•3n-1，①
3Sn=2×3+3×32+4×33+…+n•3n-1+（n+1）•3n，②
①-②，得-2Sn=2+3+32+33+…+3n-1-（n+1）•3n
=2+-（n+1）•3n
=2-+-（n+1）•3n
=-，
∴．