Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围；
（2）若公差d∈Z，S_n为{a_n}的前n项和，，求证：对任意n∈N^*，S_n＜T_n．

Answer

（1）等差数列{an}中，a3=12，S10＞0，S13＜0，故，由此能求出公差d的取值范围．
（2）由，d∈Z，知d=-4，由a1+2d=12，知a1=20，故Sn=-2n2+22n=-2（n-）2+，所以n=5或n=6时，（Sn）max=60，由，知Sn＜Tn．
【解析】
（1）∵等差数列{an}中，a3=12，S10＞0，S13＜0，
∴，
解得，
∴公差d的取值范围是（-，-3）．
（2）∵，d∈Z，
∴d=-4，
∵a1+2d=12，
∴a1=20，
∴Sn=20n+=-2n2+22n=-2（n-）2+，
∴n=5或n=6时，
（Sn）max=60，
又，
即（Tn）min＞60，
∴Sn＜Tn．