Question

（附加题）设x为实数，定义[x]为不小于x的最小整数，例如[π]=4，[-π]=-3．
（1）关于实数x的方程[3x+1]=2x-的全部实根之和等于______．
（2）方程x²-8[x]+7=0的所有解为______

Answer

（1）设2x-=k∈Z，则，3x+1=k+1+，于是原方程等价于，从而可得k=-5或-4，求出相应的x，就可得所有实根之和；
（2）根据x≥[x]=，可得x2-8x+7≤0，即1≤x≤7，分[x]=1，2，3，4，5，6，7讨论，就可以得到方程x2-8[x]+7=0的所有解．
【解析】
（1）设2x-=k∈Z，则，3x+1=k+1+，
于是原方程等价于，即，
从而，即k=-5或-4．
相应的x为．于是所有实根之和为-4
（2）∵x≥[x]=，∴x2-8x+7≤0，∴1≤x≤7
[x]=1，x2=1，∴x=1；
[x]=2，x2=9，x=3与[x]=2矛盾；
[x]=3，x2=17，[x]=4与[x]=3矛盾；
[x]=4，x2=25，x=5与[x]=4矛盾；
[x]=5，x2=33，[x]=5；
[x]=6，x2=41，[x]=6；
[x]=7，x2=49，x=7
综上知，方程x2-8[x]+7=0的所有解为{1，}
故答案为：（1）-4；（2）{1，}