Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增；
（2）若关于x 的方程f（x）=x+m 在[1，2]上有解，求m 的取值范围．

Answer

（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．
（2）先分离出参数m：m=log2（2x+1）-x=log2（2x+1）-log22x=下面只须考查 的取值范围结合对数函数的性质即可得出m 的取值范围．
【解析】
（1）证明：任取-7＜x1＜x2＜+∞，
则，…（4分）
∵x1＜x2，∴ 
∴， 
∴f（x1）＜f（x2），…（7分）
所以，函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增．…（8分）
（2）m=log2（2x+1）-x=log2（2x+1）-log22x=，…（11分）
当1≤x≤2 时，， …（13分）
∴，即 …（15分）
所以，m 的取值范围是 …（16分）