Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③当x₁，x₂≥0，x₁+x₂≤1时有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求函数f（x）的最大值；
（3）证明：当x∈（，1]时，f（x）＜2x；当x∈[0，]时，f（x）≤f（2x）．

Answer

（1）利用赋值法，令x1=1，x2=0，利用函数性质③即可求得f（0）的值；
（2）利用函数单调性的定义，任取0≤x1＜x2≤1，利用性质③和①证明f（x2）≥f（x1），从而证明函数在定义域上为增函数，利用单调性求函数的最值即可；
（3）利用结论（2）即可证明当x∈（，1]时，f（x）＜2x，利用函数性质③即可证明当x∈[0，]时，f（x）≤f（2x）．
【解析】
（1）令x1=1，x2=0，则f（1+0）≥f（1）+f（0），∴f（0）≤0，
又∵于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0，∴f（0）≥0，
∴f（0）=0
（2）任取0≤x1＜x2≤1，可知x2-x1∈（0，1]，则f（x2）-f（x1）≥f（x2-x1）≥0
故f（x2）≥f（x1），∴定义域为[0，1]的函数f（x）为增函数，
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1，
故当x=1时，f（x）有最大值1．
（3）证明：当x∈（，1]时，由（2）知f（x）≤1，而2x＞2×=1
∴f（x）＜2x
当x∈[0，]时，2x≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴f（x）≤f（2x）