Question

已知函数f（x）=x-lnx
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：其中n≥2，n∈N^*．

Answer

（1）先确定函数的定义域，再求导函数，利用f′（x）＜0，可得函数的单调减区间；利用f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，从而当x＞1时，lnx＜x-1．令（n≥2，n∈N*），则，由此可证得结论．
（1）【解析】
函数的定义域为（0，+∞）
求导函数
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，∵x＞0，∴可得x＞1，
∴f（x）的单调递减区间是（0，1）；f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；
（2）证明：当x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，
∴当x＞1时，lnx＜x-1．
令（n≥2，n∈N*），则．
所以当n≥2，n∈N*时，，
即，
∴．    …14分．