Question

已知函数是偶函数．
（1）求k的值
（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求实数b的取值范围．

Answer

（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（2）函数y=f（x）的图象与直线没有交点，即无解，从而方程log9（9x+1）-x=b无解．令g（x）=log9（9x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．可以验证g（x）为减函数，从而得到g（x）＞0，进而可求实数b的取值范围．
【解析】
（1）因为y=f（x）为偶函数，
所以∀x∈R，f（-x）=f（-x），
即log9（9-x+1）-kx=log9（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．
即恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒为零，
∴．
（2）由题意知方程，即方程log9（9x+1）-x=b无解．
令g（x）=log9（9x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，从而．
于是，即g（x1）＞g（x2），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为，所以．
所以b的取值范围是（-∞，0]．