Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，∠ADC=60°且ABCD为菱形．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求异面直线PB和AD所成角的余弦值；
（3）求二面角P-AD-C的正切值．

Answer

（1）取CD中点O，连OA、OP，根据面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，得PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，利用AO⊥CD，证明PA⊥CD．
（2）先找出线线角∠PBC是PB和AD所成的角，进而可求；
（3）先找出二面角的平面角：由O引OG⊥AD于G，连PG，则PG⊥AD，∠PGO为二面角P-AD-C为平面角，进而可求．
【解析】
（1）证明，取CD中点O，连OA、OP，
∵面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，
∴PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O为CD中点∴AO⊥CD，∴PA⊥CD．
（2）∵AD∥BC
∴∠PBC是PB和AD所成的角，
在△PBC中，PC=BC=2
PB=
故cos∠PBC==
故异面直线PB和AD所成角的余弦值为．
（3）由O引OG⊥AD于G，连PG，则PG⊥AD，∠PGO为二面角P-AD-C为平面角，
，
即二面角P-AD-C的正切值为2．