Question

设函数，g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
（1）求a的值，并证明函数f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（2）若函数h（x）=k-f（x）-g（x）（其中x∈（0，+∞），k∈R）在[m，n]上的值域为[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范围．

Answer

（1）根据方程f（x）=g（x）的x有且只有一个，得到关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0，可以求出a的值，得到函数f（x）的表达式，最后用函数单调性的定义可以证明出函数f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（2）将（1）中f（x）和g（x）的表达式代入，得，不难得出它是（0，+∞）上为增函数，在[m，n]上的值域为[m，n]说明h（m）=m，h（n）=n成立，
从而转化为一元二次方程x2-（k-4）x+2=0在（0，+∞）上有两个不等的实根x1，x2．最后利用根与系数的关系与根的判别式建立不等式组，解之得k的取值范围．
【解析】
（1）=4-x，得（a+1）x2-4x+a+1=0（*）
由a＞0知x=0不是方程（*）的解，
故△=16-4（a+1）2=0，得a=1．…（2分）
设x1＞x2＞2，
可得：＞0，…（4分）
所以，函数f（x）在（2，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）在（0，+∞）上为增函数，…（6分）
h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，故有h（m）=m，h（n）=n，
所以h（x）=x在（0，+∞）上有两个不等的实根．…（7分）
得方程：
在（0，+∞）上有两个不等的实根x1，x2．
所以：，（9分）
得．…（11分）
所以k的取值范围为…（12分）