Question

设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又F（x）=a^f（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．
求证：（1）f（x）＜0时，F（x）＜1； 
 （2）F（x）在定义域A上是减函数．

Answer

（1）由已知中F（x）=af（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．我们可以判断出底数a＞1，进而根据指数函数的性质，可以得到f（x）＜0时，F（x）＜1； 
（2）x1＜x2，x1．x2∈A，根据f（x）在定义域A上是单调递减函数，可得f（x2）-f（x1）＜0，进而判断出F（x2）-F（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义即可得到F（x）在定义域A上是减函数．
证明：（1）∵f（x）＞0时，F（x）=af（x）＞1，
∴a＞1
则f（x）＜0时，-f（x）＞0…（2分）
∴a-f（x）＞1
∴
∴0＜af（x）＜1
∴F（x）＜1…（4分）
（2）设x1＜x2，x1．x2∈A…（5分）
∵f（x）在A上为减函数，
∴f（x1）＞f（x2）
即f（x2）-f（x1）＜0，
而F（x2）-F（x1）=af（x2）-af（x1）=af（x1）[af（x2）-f（x1）-1]…（8分）
∵a＞0，
∴af（x1）＞0，且当f（x2）-f（x1）＜0  
而f（x）＜0时，F（x）＜1
∴af（x2）-f（x1）＜1
∴F（x2）-F（x1）＜0∴F（x2）＜F（x1）
∴F（x）在定义域A上是减函数…（13分）