Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n，其中S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求a₁，a₂，a₃，a₄值，猜想a_n，并用数学归纳法加以证明．

Answer

根据Sn=2n-an，利用递推公式，求出a1，a2，a3，a4，从而总结出规律求出an，然后利用归纳法进行证明．
【解析】
由a1=2-a1，得a1=1，
由a1+a2=2×2-a2，得a2=，
由a1+a2+a3=2×3-a3，得a3=，
由a1+a2+a3+a4=2×4-a4，得a4=，猜想an=
证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，
（2）假设n=k时猜想成立，即ak=，
此时Sk=2k-ak=2k-，
当n=k+1时，Sk+1=2（k+1）-ak+1，得Sk+ak+1=2（k+1）-ak+1，
因此ak+1=[2（k+1）-Sk]=k+1-（2k-）=，
∴当n=k+1时也成立，
∴an=（n∈N+）．