Question

已知圆经过点A（2，-1）且与直线x-y-1=0相切，圆心在直线2x+y=0上，求此圆的方程．

Answer

设圆心坐标为（a，b），由圆心在直线2x+y=0上，把设出的圆心坐标代入得到关于a与b的关系，用a表示出b，由圆经过A且与直线x-y-1=0相切，利用两点间的距离公式求出圆心到A点间的距离，即为圆的半径，同时根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x-y-1=0的距离，等于圆的半径，又列出关于a与b的关系式，把表示出的b代入得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而求出b的值，确定出圆心坐标，把a与b代入表示出的半径，确定出半径，由圆心和半径即可得到圆的标准方程．
【解析】
设圆心坐标为（a，b），
∵圆心在直线2x+y=0上，
∴2a+b=0，即b=-2a，
又圆经过点A（2，-1）且与直线x-y-1=0相切，
∴=，即2（a-2）2+2（b+1）2=（a-b-1）2，①
把b=-2a代入①得：2（a-2）2+2（-2a+1）2=（3a-1）2，
整理得：a2-10a+9=0，即（a-1）（a-9）=0，
解得：a=1或a=9，
此时b=-2或-18，
∴圆心坐标为（1，-2）或（9，-18），
此时圆的半径为或13，
则圆的方程为（x-1）2+（y+2）2=2或（x-9）2+（y+18）2=338．