Question

已知数列＞3
（1）求证a_n＞3；      
（2）比较a_n，a_n+1的大小，并证明
（3）是否存在m∈N⁺，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²？证明你的结论．

Answer

（1）利用数学归纳法证明即可
（2）要判断an，an+1的大小，只要检验an+1-an-an=与0的大小即可
（3）假设存在使题设成立的正整数m，则由（am-3）（am+2-3）=（am+1-3）2及am-3=2am+1，可求am，检验是否满足am＞3
（1）证明：①当n=1时不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即ak＞3，则=3
即当n=k+1时不等式仍成立．
根据①②对任何n∈N*，都有an＞3．…（4分）
（2）∵an+1-an=-an=＜0，
∴an+1＜an，n∈N*，…（7分）
（3）假设存在使题设成立的正整数m，则
（am-3）（am+2-3）=（am+1-3）2
即（am-3）•=（am+1-3）2，
∴am-3=2am+1，
从而am=-3，这不可能．
故不存在m∈N*，使得（am-3）（am+2-3）=（am+1-3）2．…（11分）