Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）；
（1）若a=3，求函数f（x）的单调区间与极值
（2）若函数f（x）≤2x²恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）利用导数求函数的单调区间与极值，先求导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值．
（2）函数f（x）≤2x2恒成立，即lnx-x2-ax≤0（x＞0）恒成立．分离变量，得，a≥恒成立，则只需a大于等于的最大值即可．用导数求出的最大值即可．
【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=，
，
当＜x＜1时，f′（x）＜0
∴，
∴=-=f（1）=-2
f′（x）=+x2-a=（x＞0），
（2）由条件可得lnx-x2-ax≤0（x＞0），
则当x＞0时，a≥恒成立，
令h（x）=（x＞0），则h′（x）=，
令k（x）=1-x2-lnx（x＞0），
则当x＞0时，k′（x）=-2x-＜0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．
又k′（1）=0，
所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
所以h（x）max=h（1）=-1，所以a≥-1