Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+k=0（k＜5）；
（I）若k=1，圆C内有一点P（-2，3），经过P的直线l与圆C交于A、B两点，当弦AB恰被P平分时，求直线l的方程；
（II）若圆C与直线x+y+1=0交于P、Q两点，是否存在实数k，使OP⊥OQ（O为原点）？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．

Answer

（I）因为弦AB被点P平分，先求出OP的斜率，然后根据垂径定理得到OP⊥AB，由垂直得到两条直线斜率乘积为-1，求出直线AB的斜率，然后写出直线的方程．
（II）设出P，Q的坐标，根据OP⊥OQ可推断出，把P，Q坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出xp+xQ和xp•xQ，利用直线方程求得yp•yQ的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．
【解析】
（1）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，∴OP⊥AB
又k=1时，C（-1，2），∴=-2，∴kAB=1，∴直线AB的方程为x-y+5=0
（2）设点P（xp，yP），Q（xQ，yQ）
当OP⊥OQ时，Kop•KOQ=-1⇒⇒xpxQ+ypyQ=0
又直线与圆相交于P、Q⇒⇒P、Q坐标是方程2y2-4y+k-1=0的两根有：yP+yQ=2，
从而有2yPyQ+yQ+yP=0，∴k=-2
且检验△＞O成立，故存在k=-2，使OP⊥OQ