Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G、F分别是AD、PB的中点．
（I）求证：PA⊥CD；
（II）证明：GF⊥平面PCB；
（III）求二面角A-PB-C的大小．

Answer

（I）以D为原点建立空间直角坐标系，利用证得PA⊥CD；
（Ⅱ）利用去证GF⊥平面PCB
（Ⅲ）求出平面PAB，平面PCB的一个法向量，利用两法向量的夹角间接求二面角A-PB-C的大小
【解析】
（I）以D为原点建立空间直角坐标系则A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）
 =（2，0，-2）=（0，2，0）=0，∴∴PA⊥CD；
（Ⅱ）设G（1，0，0）则=（0，-1，-1）=（2，0，0）=（0，2，-2）
又∴GF⊥平面PCB；

（Ⅲ）设平面PAB的一个法向量为n1=（x，y，z）
又=（0，2，0）=（2，0，-2）
即
令x=1，可得n1=（1，0，1）
同理可求得平面PBC的一个法向量为
n2=（0，-1，-1）
设二面角A-PB-C的大小为θ
则|cosθ|==，
∵θ为钝角，∴二面角A-PB-C的大为120°