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已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3n3+n(n∈N*). (1)求{...

已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3n3+n(n∈N*).
(1)求{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}满足manfen5.com 满分网.Tn=b1+b2+…+bn
(i)证明:manfen5.com 满分网
(ii)是否存在最大的正数k,使不等式3Tn≥log2k+log2an+1,对一切n∈N*都成立?若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由.
(1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,由此能求出{an}的通项公式. (2)由,知+=.要证:,即证:,由此入手能够使原不等式得证. (3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),所以,由此能够证明存在最大正数k. 【解析】 (1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1, ∵n=1时,a1=S1=2满足上式 ∴an=3n-1(n∈N+). (2)由(1)得:, ∴+ =. 要证: 即证:, 即:(3, 令, ∵- =>, ∴g(n+1)>g(n).即g(n)为增.从而, ∴ 从而原不等式得证. (3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2), ∴, ∴≥, ∴, 由(2)知为增. ∴, ∴, ∴存在最大正数k=.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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