Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3n³+n（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足．T_n=b₁+b₂+…+b_n．
（i）证明：；
（ii）是否存在最大的正数k，使不等式3T_n≥log₂k+log₂a_n+1，对一切n∈N^*都成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1，由此能求出{an}的通项公式．
（2）由，知+=．要证：，即证：，由此入手能够使原不等式得证．

（3）假设存在最大正数k，使不等式成立．即3Tn≥log2k（3n+2），所以，由此能够证明存在最大正数k．
【解析】
（1）n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1，
∵n=1时，a1=S1=2满足上式
∴an=3n-1（n∈N+）．
（2）由（1）得：，
∴+
=．
要证：
即证：，
即：（3，
令，
∵-
=＞，
∴g（n+1）＞g（n）．即g（n）为增．从而，
∴ 从而原不等式得证．

（3）假设存在最大正数k，使不等式成立．即3Tn≥log2k（3n+2），
∴，
∴≥，
∴，
由（2）知为增．
∴，
∴，
∴存在最大正数k=．