Question

若函数f（x）=3x-x³在区间（a²-12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．（-1，4）
C．（-1，2]
D．（-1，2）

Answer

求函数f（x）=3x-x3导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间（a2-12，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a2-12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围
【解析】
由题 f'（x）=3-3x2，
令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1
由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值
∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜
又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2
综上知a∈（-1，2]
故选C