Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若c_n=a_n•log₉a_n（n∈N^*），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer

（1）根据a1=1且an+1=2Sn+1（n∈N*），类比可得an=2Sn-1+1（n≥2，n∈N*），两式相减即可；
（2）由（1）知an=3n-1，可求，，利用错位相减法即可求得Tn．
【解析】
（1）由已知得an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2，n∈N*），
两式相减得an+1-an=2（Sn-Sn-1）=2an，即an+1=3an（n≥2，n∈N*）．
又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，所以an+1=3an（n∈N*）
所以数列{an}是以1为首项，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知an=3n-1，于是，于是，
，
相减得：
解得：．