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设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1且an+1=2Sn+1(n∈N*). (...

设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1且an+1=2Sn+1(n∈N*).
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)若cn=an•log9an(n∈N*),Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn
(1)根据a1=1且an+1=2Sn+1(n∈N*),类比可得an=2Sn-1+1(n≥2,n∈N*),两式相减即可; (2)由(1)知an=3n-1,可求,,利用错位相减法即可求得Tn. 【解析】 (1)由已知得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2,n∈N*), 两式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,即an+1=3an(n≥2,n∈N*). 又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1,所以an+1=3an(n∈N*) 所以数列{an}是以1为首项,公比为3的等比数列. (2)由(1)知an=3n-1,于是,于是, , 相减得: 解得:.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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