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已知f(x)=loga(a-ax)(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域...

已知f(x)=loga(a-ax)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)当a>1时,若不等式f-1(x2-mx+4)>f(x)在x∈[-3,-1]上恒成立,求实数m的取值范围.
(1)由于是对数函数,故其真数大于0,再对a进行分类讨论; (2)不等式f-1(x2-mx+4)>f(x)在x∈[-3,-1]上恒成立等价于不等式x2-mx+4<x在x∈[-3,-1]上恒成立,从而分离参数在x∈[-3,-1]上恒成立,从而可求实数m的取值范围. 【解析】 (1)当0<a<1时,由a-ax>0得x>1,此时定义域为(1,+∞); 当a>1时,由a-ax>0得x<1,此时定义域为(-∞,1). (2)令y=loga(a-ax),则ay=a-ax,解得x=loga(a-ay), 所以f-1(x)=loga(a-ax)(a>0,x<1) 又因为函数y=loga(a-ax)(a>0,x<1)在定义域上单调递减,于是不等式f-1(x2-mx+4)>f(x)在x∈[-3,-1]上恒成立等价于不等式x2-mx+4<x在x∈[-3,-1]上恒成立. 由于x∈[-3,-1],所以在x∈[-3,-1]上恒成立. 因函数在区间[-3,-1]上的最小值为-6,所以m<-6.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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