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如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且...

如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC.
(1)求异面直线A1D与B1B所成角的正切值;
(2)证明:A1C⊥平面BED;
(3)求二面角A1-DE-B的余弦值.

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(1)由于AA1∥BB1,∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角得到异面直线A1D与B1B所成角的正切值. (2)根据空间直角坐标系个点坐标,即向量垂直计算,可得A1C⊥BD,A1C⊥DE又DB∩DE=D即可得得证. (3)由(2)知向量为平面DBE的一个法向量,根据向量坐标计算,即可得到二面角A1-DE-B的余弦值. 【解析】 如图,建立空间直角坐标系D-xyz. 则B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)., (1)【解析】 ∵AA1∥BB1 ∴∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角 ∵在Rt△AA1D中,A1A=4,AD=2 ∴ 即异面直线A1D与B1B所成角的正切值为 (2)证明: ∵,, ∴A1C⊥BD,A1C⊥DE 又DB∩DE=D ∴A1C⊥平面DBE (3)【解析】 由(2)知向量为平面DBE的一个法向量 设平面DA1E的法向量n=(x,y,z) 由,得2y+z=0,2x+4z=0 令z=-2,得x=4,y=1, ∴n=(4,1,-2) 又二面角A1-DE-B为锐角 ∴二面角A1-DE-B的余弦值为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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