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已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列命题 ①α∥β=l⊥m; ②α⊥β⇒...

已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列命题
①α∥β=l⊥m;
②α⊥β⇒l∥m;
③l∥m⇒α⊥β;
④l⊥m⇒α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A.①②③
B.②③④
C.①③
D.②④
由两平行平面中的一个和直线垂直,另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β,再利用面面垂直的判定可得①为真命题; 当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行,也可以在平面内,故②为假命题; 由两平行线中的一条和平面垂直,另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α,再利用面面垂直的判定可得③为真命题; 当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行,也可以在平面内,如果直线m在平面α内,则有α和β相交于m,故④为假命题. 【解析】 l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β,又由直线m⊂平面β,所以有l⊥m;即①为真命题; 因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内,又由直线m⊂平面β,所以l与m,可以平行,相交,异面;故②为假命题; 因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α,又由直线m⊂平面β可得α⊥β;即③为真命题; 由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内,又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交,即④为假命题. 所以真命题为①③. 故选 C.
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