(I)对函数求导可得,f′(x)=ax2+bx-a2,由题意可得x1,x2是方程的两根,根据方程的根与系数的关系可得x1+x2,x1•x2,而,代入可求
(II)由(I)可得b2=4a2-4a3,构造函数g(a)=4a2-4a3,利用导数知识求函数g(a)的单调区间及最值,而b2≤g(a)max,即可.
【解析】
(Ⅰ)对f(x)求导可得f'(x)=ax2+bx-a2(a>0).(2分)
因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以x1,x2是方程f'(x)=0的两个实根.
于是,
故,
即b2=4a2-4a3.(4分)
由b2≥0得4a2-4a3≥0,解得a≤1.a>0,
所以0<a≤1得证.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=4a2-4a3,设g(a)=4a2-4a3,
则g'(a)=8a-12a2=4a(2-3a).(8分)
由g'(a)>0;g'(a)<0.(10分)
故g(a)在时取得最大值,
即,
所以.(13分)