Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=2，CC₁=3，
（1）求点D₁到平面BDE的距离；
（2）求直线A₁B与平面BDE所成角的正弦值．

Answer

（1）分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面BDE的一个法向量，根据向量数量积的几何意义即可求得结果；
（2）要求直线A1B与平面BDE所成角的正弦值，即求与平面BDE的一个法向量夹角的余弦值的绝对值即可．
【解析】
（1）如图建立空间直角坐标系：
D（0，0，0），B（2，4，0），E（0，4，2），D1（0，0，3），
∴，=（0，0，3）
设面DBE的法向量为，
由，
令y=1，则x=-2，z=-2．
  ．
（2）A1（2，0，3），B（2，4，0），
设 直线A1B与平面BDE所成的角为θ．
所以直线A1B与平面BDE所成角的正弦值为 ．