Question

已知点A（a，0）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆x²+y²-4x-4y+3=0相交于C、D两点，且|CD|=2．
（1）求（a-4）（b-4）的值；
（2）求线段AB的中点的轨迹方程；
（3）求△AOM的面积S的最小值．

Answer

（1）利用|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，从而可得，再进行化简即可；
（2）设M中点，（x，y），则，结合（1），化简可得；
（3）将面积表示为，再利用基本不等式求解．
【解析】
（1）直线AB的方程为，其与已知圆相交，且|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，即．化简得ab+8-4a-4b=0，故（a-4）（b-4）=8．
（2）设M（x，y），则，由（1）得（2x-4）（2y-4）=8，（x-2）（y-2）=2（x＞2，y＞2）为所求轨迹方程．--（8分）（x，y范围只写一个也行没写扣1分）
（3）．
当且仅当时面积取最小值．