Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为A₁B和CC₁的中点．求：

（Ⅰ）直线MN和BC所成角的正切值；
（Ⅱ）直线A₁B和平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）点N到直线AB的距离．

Answer

（Ⅰ）取BB1中点E，连接MN，NE，ME，根据中点得EN∥BC，然后在RT△MNE中求出tan∠MNE即可；
（Ⅱ）根据原图是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，可直接得到∠A1BA即为直线A1B和平面ABCD所成角，再求出∠A1BA即可；
（Ⅲ）连接BN，根据原图是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，先得到 AB⊥面BCC1B1，进而得 AB⊥BN，得BN的长即为点N到直线AB的距离，然后在RT△BCN中，求出BN即可．
【解析】
取BB1中点E，连接MN，NE，ME．
（Ⅰ）∵E，N分别为BB1，CC1
∴EN∥BC，
∴∠MNE或其补角即为直线MN和BC所成角，
又∵M，E也分别为对应边的中点，
所以  ME∥AB．
又因为AB⊥BC．
∴ME⊥EN，在RT△MNE中，tan∠MNE===．
故直线MN和BC所成角的正切值为 ．
（Ⅱ）∵原图是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1
∴∠A1BA即为直线A1B和平面ABCD所成角．
又因为  A1A⊥AB，A1A=AB．
∴∠A1BA=45°．
故直线A1B和平面ABCD所成角为45°
（Ⅲ）连接BN，
∵原图是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1
所以 AB⊥面BCC1B1，
∴AB⊥BN．
故BN的长即为点N到直线AB的距离，
在RT△BCN中，BN===．
所以点N到直线AB的距离为a