Question

函数f（x）（x∈R⁺）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）分别取x=am，y=an，再结合已知条件中的等式，化简可以得出f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）设两个正数x1，x2，且x1＞x2，通过构造x1=x2t（t＞1），t=aα（α＞0），再用函数单调性的定义可以证出
f（x1）-f（x2）=αf（a）=α＞0，可得函数在在（0，+∞）上单调递增；
（3）先利用（1）的结论，将不等式的左边合并为f[（x）（3-x）]，右边的2=f（a2），再根据（2）利用函数单调增的性质，转化为不等式x（3-x）≤a2在区间（0，3）上恒成立，实数a的范围就不难得出了．
【解析】
（1）证明：令x=am，y=an，则f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a）=m+n，
同理，f（x）+f（y）=m+n，∴得证
（2）证明：任设x1，x2∈R+，x1＞x2，可令，x1=x2t（t＞1），t=aα（α＞0）
则f（x1）-f（x2）=f（x2t）-f（x2）=f（x2）+f（t）-f（x2）=f（t）=f（aα）=αf（a）=α＞0
即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在正实数集上单调递增
（3）f（x）+f（3-x）≤2可化成，f（x）+f（3-x）≤2f（a）
即f（x）+f（3-x）≤f（a2），
即，即，而当0＜x＜3时，
依题意，有，又a＞1∴．