Question

若f（n）为n²+1的各位数字之和（n∈N^*），例如：∵14²+1=197，1+9+7=17，∴f（14）=17，记：f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n））（k∈N^*），则f₂₀₀₉（9）=（ ）
A．2
B．5
C．8
D．11

Answer

先利用前几项找到数列的特点或规律，fn（9）是从第三项起以3为周期的循环数列，再求f2009（9）即可．
【解析】
由92+1=82⇒f（9）=8+2=10，
102+1=101⇒f（10）=1+0+1=2，
22+1=5⇒f（2）=5
52+1=26⇒f（5）=8
82+1=65⇒f（8）=11
112+1=122⇒f（11）=5
…⇒fn（9）是从第三项起以3为周期的循环数列，
又（2009-2）÷3的余数为0，故f2009（9）=f5（9）=f（8）=11．
故选D．