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已知函数. (Ⅰ)若a=4,求曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (...

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(Ⅰ)若a=4,求曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的极值;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求直线方程一般用点斜式,本题中已知切点,故可以根据导数的几何意义,求出该点的导数值,即得曲线在此点处的切线的斜率,然后用点斜式写出切线方程即可 (Ⅱ)求出函数的导函数,令导数大于0解出增区间,令导数小于0,解出函数的减区间,然后由极值判断规则确定出极值即可. (Ⅲ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,即在区间(0,e2]上,函数f(x)存在自变量取某个值时,函数值等于1,故问题可以转化为求出函数f(x)最值,保证函数的最大值大于等于1,最小值小于等于1即可得到关于参数a的不等式,解之即得. 【解析】 (Ⅰ)∵a=4, ∴且.(1分) 又∵, ∴.(3分) ∴f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为:, 即4x+e2y-9e=0.(4分) (Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),,(5分) 令f'(x)=0得x=e1-a. 当x∈(0,e1-a)时,f'(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈(e1-a,+∞)时,f'(x)<0,f(x)是减函数;(7分) ∴f(x)在x=e1-a处取得极大值,即f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1.(8分) (Ⅲ)(i)当e1-a<e2,即a>-1时, 由(Ⅱ)知f(x)在(0,e1-a)上是增函数,在(e1-a,e2]上是减函数, ∴当x=e1-a时,f(x)取得最大值,即f(x)max=ea-1. 又当x=e-a时,f(x)=0,当x∈(0,e-a]时,f(x)<0, 当x∈(e-a,e2]时,f(x)∈(0,ea-1], 所以,f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0,e2]上有公共点, 等价于ea-1≥1,解得a≥1, 又因为a>-1,所以a≥1.(11分) (ii)当e1-a≥e2,即a≤-1时,f(x)在(0,e2]上是增函数, ∴f(x)在(0,e2]上的最大值为, ∴原问题等价于,解得a≥e2-2, 又∵a≤-1∴无解 综上,a的取值范围是a≥1.(14分)
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考点分析:
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          y
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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