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已知椭圆C中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,短轴长为. (Ⅰ)求椭圆C的标准方...

已知椭圆C中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,短轴长为manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是椭圆的左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
(Ⅰ)直接利用解出即可得椭圆C的标准方程; (Ⅱ)先把直线方程与椭圆方程联立,求出关于点M、N坐标之间的等式,再代入AM⊥AN对应的等式即可求出m和k之间的关系,进而证得直线l过定点,并求出定点的坐标. 【解析】 (Ⅰ)设椭圆的长半轴为a,短半轴长为b,半焦距为c,则解得 ∴椭圆C的标准方程为.(4分) (Ⅱ)由方程组消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.(6分) 由题意△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0, 整理得:3+4k2-m2>0①(7分) 设M(x1,y1)、N(x2,y2),则,.(8分) 由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0), ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0. (10分) 即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0, 也即, 整理得7m2+16mk+4k2=0. 解得m=-2k或,均满足①(11分) 当m=-2k时,直线l的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),不符合题意舍去; 当时,直线l的方程为,过定点, 故直线l过定点,且定点的坐标为.(13分)
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考点分析:
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          y
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x
实用性
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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