Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x，使得f（x+1）=f（x）+1成立．
（1）函数f（x）=x²是否属于集合M？说明理由；
（2）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；
（3）若对于任意实数a，函数均属于集合M，试求实数b的取值范围．

Answer

（1）若f（x）=x2属于集合M，则方程（x+1）2=x2+1有根，解二次方程如果该方程有根，则数f（x）=x2属于集合M．
（2）若f（x）=属于集合M，则方程=+1有根，解二次方程如果该方程有非零根，则数f（x）=属于集合M．
（3）若b=0时，f（x）=0（x≠-a）显然不属于集合M．若当b≠0时，D=（-∞，-a）∪（-a，+∞），由对于任意实数a，函数均属于集合M，故一定有解，根据△≥0，我们构造出一个关于b的不等式，解不等式即可得到实数b的取值范围．
【解析】
（1）D=R，若f（x）=x2属于集合M，
则存在实数x，使得（x+1）2=x2+1，解得x=0，因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=x2属于集合M．（5分）
（2）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=∈M，则存在非零实数x，使得
，即x2+x+1=0，
因为此方程无实数解，所以函数f（x）=∉M．（5分）
（3）当b≠0时，D=（-∞，-a）∪（-a，+∞），
由，存在实数x，使得，
即x2+（2a+1）x+a2+a+b=0（x≠-a，-a-1）对于任意实数a均有解，
所以△≥0恒成立，解得，有，（15分）
当b=0时，f（x）=0（x≠-a）显然不属于集合M．
所以，实数b的取值范围是．（18分）