Question

已知函数是奇函数（a∈R）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先将函数变形，再由奇函数探讨f（-x）=-f（x），用待定系数法求解．
（Ⅱ）用定义求解，先在区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，要注意变形到位．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，且是奇函数．将f（t2-（m-2）t）+f（t2-m-1）＜0对任意t∈R恒成立，转化为2t2-（m-2）t-（m+1）＜0对任意t∈R恒成立．再用判别式法求解．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：f（x）=
∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x）
即
∴a-2=a，即a=1（4分）
即

（Ⅱ）设x1，x2为区间（-∞，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，
则，，
∵f（x1）-f（x2）==＜0
即f（x1）＜f（x2）∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，且是奇函数．
∵f（t2-（m-2）t）+f（t2-m-1）＜0
∴f（t2-（m-2）t）＜-f（t2-m-1）=f（-t2+m+1）
∴t2-（m-2）t＜-t2+m+1（13分）
即2t2-（m-2）t-（m+1）＜0对任意t∈R恒成立．
只需△=（m-2）2+4×2（m+1）=m2+4m+12＜0，
解之得m∈∅（16分）