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已知向量=(sin(ωx+φ),2),=(1,cos(ωx+φ)),ω>0,0<...

已知向量manfen5.com 满分网=(sin(ωx+φ),2),manfen5.com 满分网=(1,cos(ωx+φ)),ω>0,0<φ<manfen5.com 满分网.函数f(x)=(manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网)•(manfen5.com 满分网-manfen5.com 满分网),若y=f(x)的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1,且过点M(1,manfen5.com 满分网).
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)当-1≤x≤1时,求函数f(x)的单调区间.
(Ⅰ)首先由向量运算以及三角恒等变换化简f(x)=(+)•(-)=-cos(2ωx+2φ)+3,再由y=f(x)的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1判断出函数的周期是4,由周期公式求得ω,再由图象过点M(1,),代入求得φ,即得函数f(x)的表达式. (Ⅱ)当-1≤x≤1时,代入求得相位的取值范围结合余弦函数的单调性求函数f(x)的单调区间. 【解析】 (1)f(x)=(+)•(-)==sin2(ωx+φ)+4-1-cos2(ωx+φ), =-cos(2ωx+2φ)+3 由题意得周期T==4,故ω=…(4分) 又图象过点M(1,),所以=3-cos(+2φ) 即sin2φ=,而0<φ<,所以2φ= ∴f(x)=3-cos(x+) (2)当-1≤x≤1时,-≤x+≤ ∴当-≤x+≤0时,即x∈[-1,-]时,f(x)是减函数 当0≤x+≤时,即x∈[-,1]时,f(x)是增函数 ∴函数f(x)的单调减区间是[-1,-],单调增区间是[-,1]
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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