Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，求实数a，b的值；并判断f（1）=10是极大值还是极小值．

Answer

根据已知中函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，我们可得到，根据函数f（x）=x3+ax2+bx+a2，求出导函数的解析式后，构造关于a，b的方程，解方程即可求出a，b的，根据第一步中a，b的值，我们求出函数的解析式，分析函数在X=1两侧的单调性，即可判断出f（1）=10是极大值还是极小值．
【解析】
∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2
∴f'（x）=3x2+2ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，
∴解得：或
当a=4，b=-11时，，f（x）在，在，在（1，+∞）↑
∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；
当a=-3，b=3时，f'（x）=3（x-1）2≥0，f（x）在R上单增，无极值．
∴a=4，b=-11；且f（1）=10是极小值．