Question

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x，有f（x）=x，则称x是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上，求b的最小值．
（参考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中点坐标为）

Answer

（I）将a=1，b=-2代入f（x）=ax2+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不动点即可；
（II）由ax2+（b+1）x+b-1=x有两个不动点，即ax2+bx+b-1=0有两个不等实根，可通过判别式大于0得到关于参数a，b的不等式b2-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，配方可得b2-4ab+4a=（b-2a）2+4a-4a2＞0恒成立，将此不等式恒成立转化为4a-4a2＞0即可．
（III）由于本小题需要根据两个点A、B的坐标转化点关于线的对称这一条件，故可以先设出两点的坐标分别为A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），可以得到x1+x2=，由此联想到根与系数的关系，由（II）知，x1、x2应是方程ax2+bx+b-1=0的根，故又可得x1+x2=-，至此题设中的条件转化为-=，观察发现参数b可以表示成参数a的函数即 ，至此，求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题．
【解析】
（1）f（x）=x2-x-3，由x2-x-3=x，
解得x=3或x=-1，所以所求的不动点为-1或3．
（2）令ax2+（b+1）x+b-1=x，则ax2+bx+b-1=0①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b2-4a（b-1）＞0，
即b2-4ab+4a＞0恒成立，
则△'=16a2-16a＜0，故0＜a＜1
（3）设A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），，
又AB的中点在该直线上，所以，
∴，
而x1、x2应是方程①的两个根，所以，即，
∴=-=-
∴当a=∈（0，1）时，bmin=-1