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高中数学试题
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已知函数. (1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数; (2)确定a的值,...
已知函数
.
(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;
(2)确定a的值,使f(x)为奇函数;
(3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.
(1)先设x1<x2,欲证明不论a为何实数f(x)总是为增函数,只须证明:f(x1)-f(x2)<0,即可; (2)根据f(x)为奇函数,利用定义得出f(-x)=-f(x),从而求得a值即可; (3)由(2)知(4),利用指数函数2x的性质结合不等式的性质即可求得f(x)的值域. 【解析】 (1)∵f(x)的定义域为R,设x1<x2, 则=, ∵x1<x2,∴,∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数. (2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即, 解得:.∴. (3)由(2)知(4),∵2x+1>1(5),∴(6),∴,∴ 所以f(x)的值域为.
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考点分析:
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