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满分5
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高中数学试题
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已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-,1)在椭圆上,...
已知F
1
,F
2
是椭圆C:
=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-
,1)在椭圆上,线段PF
2
与y轴的交点M满足
=
.
(1)求椭圆C的方程.
(2)椭圆C上任一动点M(x
,y
)关于直线y=2x的对称点为M
1
(x
1
,y
1
),求3x
1
-4y
1
的取值范围.
(1)由已知,点P(-,1)在椭圆上,又,M在y轴上,M为P、F2的中点,由此解得b2=2,a2=4.从而能得到 所求椭圆C的方程. (2)点M(x,y)关于直线y=2x的对称点为M(x1,y1),由题设能导出3x1-4y1=-5x,由点P(x,y)在椭圆C上,知-2≤x≤2.由此可知3x1-4y1的取值范围为[-10,10]. 【解析】 (1)由已知,点P(-,1)在椭圆上 ∴有+=1①(1分) 又,M在y轴上, ∴M为P、F2的中点,(2分) ∴-+c=0,c=.(3分) ∴由a2-b2=2,②(4分) 解①②,解得b2=2(b2=-1舍去),∴a2=4 故所求椭圆C的方程为+=1.(6分) (2)∵点M(x,y)关于直线y=2x的对称点为M(x1,y1), ∴(8分) 解得(10分) ∴3x1-4y1=-5x(11分) ∵点P(x,y)在椭圆C:+=1上,∴-2≤x≤2∴-10≤-5x≤10. 即3x1-4y1的取值范围为[-10,10].(12分)
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考点分析:
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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