Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-3）²+（y+2）²=4，圆C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（1）设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C₁与圆C₂的一条切线，切点分别为T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，试求出所有满足条件的点P的坐标；
（2）若斜率为正数的直线l平分圆C₁，求证：直线l与圆C₂总相交．

Answer

（1）设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1=PT2，可设出P点的坐标，由直线与圆相切的性质及题设条件得到关于所引入参数的方程，解方程，有几个解，则满足条件的点P的坐标就有几个．
（2）斜率为正数的直线l平分圆C1，故可引入参数k（＞0），用待定系数法表示出直线的方程，然后求出圆心到直线的距离，与圆的半径作比较即可确定直线与圆的位置关系是相交．
【解析】
（1）由题设条件，圆C1的圆心坐标（3，-2），半径为2，圆C2的圆心坐标（-m，-m-5），半径为
∵过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1=PT2，
∴PC12-4=PC22-（2m2+8m+10）
若点P在X轴上，设P（x，0），将P（x，0）及圆心的坐标代入整理得（2m-6）x=-2m+6，故x=-1，
即P（-1，0）
若点P在Y轴上，可设P（0，y），同理解得y=-1，即P（0，-1）
故满足条件的点P的坐标为（-1，0）或（0，-1）
（2）若斜率为正数的直线l平分圆C1，可得此直线过定点（3，-2），
设此直线的方程为y+2=k（x-3），整理得kx-y-3k-2=0
圆C2的圆心到此直线的距离为d==
由于d2-r2=-（2m2+8m+10）
=
=-m2-2m-1-（m+3）2
=-（m+1）2-（m+3）2＜0 （∵k＞0）
可得在d＜r，即直线l与圆C2总相交