Question

如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的比值不超过正常数c，求V的最大值，并写出相应的x的值．

Answer

先求出长方体的底面正方形的边长和高，便可求出长方体的容积V解析式，把容积V变形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等号成立条件能否满足，当等号成立条件不能满足时，利用导数值的符号确定函数的单调性，由单调性确定函数的最大值．
【解析】
长方体的底面正方形的边长为1-2x，高为x，所以，容积V=4（x-）2x，
铁皮箱的高度x与底面正方形的边长1-2x的比值≤c，得 0＜x≤，
由均值不等式知V=2（-x）（-x）（2x）≥，
当-x=2x，即x=时等号成立．
①当≤，即 c≥，Vmax=；
②当≤，即 0＜c＜时，V'（x）=12（x-） 2-，
则V′（x）在（0，）上单调递减，
∴V'（x）≥V'（）＞V'（）=0，
∴V（x）在（0，]单调递增，
∴Vmax=V（）=
总之，0＜c＜时，则当x=时，Vmax=V（）=；
若 c≥，Vmax=．