Question

在平面直角坐标系xOy中，已知两点F₁（-6，0）、F₂（6，0），点P位于第一象限，且，tan∠PF₂F₁=2．
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）求以F₁、F₂为焦点且过点P的双曲线的标准方程．

Answer

（1）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．
（2）根据题意设出所求的双曲线的标准方程，然后代入半焦距，求出a1，b1．最后写出椭圆标准方程．
【解析】
在平面直角坐标系xOy中，已知两点F1（-6，0）、F2（6，0），
且，tan∠PF2F1=2．
∴P（5，2），如图．
（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为
（a＞b＞0），
其半焦距c=6

∴，b2=a2-c2=9．
所以所求椭圆的标准方程为
（2）点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）
设所求双曲线的标准方程为
由题意知，半焦距
c1=6 ，
b12=c12-a12=36-20=16．
所以所求双曲线的标准方程为