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已知椭圆E的方程为2x2+y2=2,过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点...

已知椭圆E的方程为2x2+y2=2,过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆E的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标;
(2)求△ABO(O为原点)的面积的最大值.
(1)将椭圆E的方程化为标准方程:,于是,b=1,,由此能够求出椭圆E的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标. (2)依题意,设直线l过F2(0,1)与椭圆E的交点A(x1,y1),B(x2,y2),.根据题意,直线l的方程可设为y=kx+1,将y=kx+1代入2x2+y2=2,得(k2+2)x2+2kx-1=0.再由韦达定理求△ABO的面积的最大值. 【解析】 (1)将椭圆E的方程化为标准方程:,(1分) 于是,b=1,, 因此,椭圆E的长轴长为,短轴长为2b=2,离心率,两个焦点坐标分别是F1(0,-1)、F2(0,1),四个顶点的坐标分别是,,A3(-1,0)和A4(1,0).(6分) (2)依题意,不妨设直线l过F2(0,1)与椭圆E的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 则.(8分) 根据题意,直线l的方程可设为y=kx+1, 将y=kx+1代入2x2+y2=2,得(k2+2)x2+2kx-1=0. 由韦达定理得:,(10分) 所以(当且仅当,即k=0时等号成立).(13分) 故△ABO的面积的最大值为.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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