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已知椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0)的离心率为manfen5.com 满分网,短轴一个端点到右焦点的距离为manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为manfen5.com 满分网,求△AOB面积的最大值.
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意求出a,b的值,从而得到所求椭圆的方程. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)当AB⊥x轴时,.(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m. 由已知,得.把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,然后由根与系数的关系进行求解. 【解析】 (Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意∴b=1,∴所求椭圆方程为. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)当AB⊥x轴时,. (2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m. 由已知,得. 把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, ∴,. ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2 = = = = =. 当且仅当,即时等号成立.当k=0时,, 综上所述|AB|max=2.∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值.
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考点分析:
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