Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时，．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知，得．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴，．
∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2
=
=
=
=
=．
当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，
综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．